GPT test

先给一个整体思路，然后分别回答你这两个具体问题。

0. 先说：可以选哪些张量分解模型？

你现在的设定是：

• 已经按“关系”做了簇（relation clusters）

• 每个关系簇可能用一个“核张量”来表征（听起来很像局部的 Tucker / RESCAL 风格）

在这种设定下，常见可选的张量/矩阵分解家族大致有：

1. CP 分解（CANDECOMP/PARAFAC）
   

   • 三阶张量：实体×实体×关系

   • 所有关系共享同一个秩 R 的分解

   • 优点：参数少、实现简单、易并行

   • 缺点：表达力有限，不同关系间差异只能通过第三模的向量捕捉
     

2. RESCAL（相当于实体共享+关系特定矩阵，属于 Tucker 的特例）
   

   • 每个关系 r 有一个矩阵 (W_r \in \mathbb{R}^{d \times d})

   • 分数函数：(f(h,r,t)=e_h^\top W_r e_t)

   • 非对称关系、组合关系表达力强；但参数多，尤其是关系多时
     

3. Tucker 分解 / Block-Tucker
   

   • 全局或“簇内”核心张量 (\mathcal{G}) + 各模因子矩阵

   • 适合你说的“一个关系簇用一个核张量”：

 * 簇内共享实体子空间 / 关系子空间
 * 不同簇有不同的核心张量，表达不同类型的交互模式

4. ComplEx DistMult SimplE 等双线性模型
   

   • 虽然通常从“按关系矩阵分解”视角出发，也可看作特殊张量分解

   • DistMult 本质是 CP，ComplEx 是在复数域提升表达力

   • 若你不想显式维护核心张量，可以把“簇”作为正则/参数共享结构，用这些模型实现

在你已经做了关系簇的前提下，最自然的是：Block-Tucker / Block-RESCAL：

• 每个簇 c 一个核心 (\mathcal{G}^{(c)})

• 实体因子全局共享（或局部细调）

• 簇内关系因子共享 / 低秩

1. 用什么数据来确定“关系簇数量”？

你问的是：用哪些统计量（关系数、关系-实体数等）来确定簇数 K？

我建议的做法是：

1.1 先从“关系相似性”构建指标，再用模型选择来定 K

1. 构建关系特征向量（data-driven，而不是手动定 K）：
   

   • 对每个关系 r，构建特征：

 * ( #\text{Triples}(r))：该关系出现的三元组数量
 * 头实体覆盖率：(|{h : (h,r,t)\in \mathcal{T}}| )
 * 尾实体覆盖率：(|{t : (h,r,t)\in \mathcal{T}}| )
 * 头/尾实体熵：实体分布是否集中（功能性/多对多）
 * 度分布特征（平均度、方差、Gini 系数等）
 * 与其他关系的“共现”统计：如同一对实体上共现的关系 Jaccard、互信息等

• 也可以先训练一个简单的 KGE（DistMult / ComplEx），用关系向量作为聚类输入。
  

2. 基于这些特征对关系做聚类（K-Means GMM 谱聚类）
   这一步你其实已经做了类似的事情（关系聚类）。
   

3. 用聚类质量指标 + 验证集性能为 K 做模型选择：
   

   • 纯无监督视角：

 * Silhouette score, Calinski-Harabasz, Davies–Bouldin 指数，作为“K 的候选区间参考”

• 结合任务目标（知识图谱补全）：

 * 为每个 K 训练对应的分解模型（或轻量版本）
 * 用验证集 link prediction 指标（MRR / Hits@k）选 K

• 如果你想更“统计学”一些，可考虑：

 * BIC / AIC：把聚类视为 GMM 或混合模型，选信息准则最小的 K
 * 或非参数贝叶斯（Dirichlet 过程混合）：用模型自动决定有效簇数

回答你“用什么数据”：

* 最基础：关系出现次数、头/尾实体数、关系的功能性（many-to-one one-to-many many-to-many）
* 更丰富：实体共现统计、预训练关系向量（KGE embedding）、关系的语义/模式相似性
* 最终 K = 通过验证集的任务指标 + 聚类指标共同决定，而不是直接用“关系数”做比例启发式。

你可以设置一个粗启发式初始范围，比如：

• (K \in [\max(2, \lfloor \sqrt{|R|} \rfloor), \min(|R|, 5\sqrt{|R|})])

• 然后在这个范围内做网格搜索 + 验证集选优。

2. 一个关系簇对应一个“核张量”，维度怎么选？

假设你对簇 c 的张量是：

[
\mathcal{X}^{{(c)} \approx \mathcal{G}}{(c)} \times_1 E^{{(c)}_H \times_2 E}{(c)}_T \times_3 R^{(c)}
]

其中：

• (\mathcal{G}^{{(c)} \in \mathbb{R}}{d_{h}^{{(c)} \times d_{t}}{(c)} \times d_{r}^{(c)}}) 是你要决定“维度”的对象

• (E^{{(c)}_H, E}{(c)}_T, R^{(c)}) 分别是头实体、尾实体、关系的因子矩阵

2.1 先区分：实体维度 vs 关系维度

1. 实体维度 (d_h^{{(c)}, d_t}{(c)})（或者共享一个 (d_e^{(c)})）：
   

   • 可以有两种策略：

 1. **全局统一实体维度 d_e**：所有簇共享一个实体 embedding 维度，核心张量对每个簇只是不同参数。

    * 优点：实体表示可在不同簇间迁移，便于训练和推理
    * 维度选择就回到经典 KGE：用验证集调 d_e（如 50, 100, 200…）
 2. **局部子空间维度**：不同簇用不同 (d_e^{(c)})，例如：

    * 对“信息量大、关系复杂”的簇（高熵、rich patterns），设更大的维度
    * 对尾部分布高度集中、模式简单的簇，用小维度避免过拟合

• 具体可用的启发式：

 * ( d_e^{(c)} \propto \log (|\mathcal{E}^{(c)}|) ) 或 (\sqrt{|\mathcal{E}^{(c)}|})，再配合验证集微调
 * 或按簇内三元组数量：簇内非零元素多 → 允许更高维

2. 关系维度 (d_r^{(c)})：
   

   • 若簇内关系数为 (|R_c|)，常见做法是：

 * (d_r^{(c)} \le |R_c|)，视作对关系维度压缩
 * 你可以尝试 (d_r^{(c)} \in { \lfloor \log_2 |R_c| \rfloor, \lfloor \sqrt{|R_c|} \rfloor, |R_c| })，用验证集选

• 如果核心张量 (\mathcal{G}^{{(c)}) 不太大（例如 (d_h}{(c)}=d_t^{{(c)}=d)，(d_r}{(c)}) 很小），计算量是可控的。

• 若你偏向 RESCAL 风格：

 * 用 rank 分解 (W_r^{(c)} \approx A^{(c)} \Lambda_r^{(c)} (B^{(c)})^\top)，其中秩相当于“关系维度”，同样可以用验证集选秩。

2.2 更统计一点：把“核张量维度”理解为“张量秩/多模秩”，用模型选择

可以把 ((d_h^{{(c)}, d_t}{(c)}, d_r^{(c)})) 看作“多模秩”，类似 Tucker-ranks：

1. 为簇 c 设定若干候选秩：
   

   • 如 ((10,10,5), (20,20,5), (20,20,10), (50,50,10)) 等

2. 对每个候选秩训练簇内模型（或子模型），在簇内的验证集三元组上评估：
   

   • 重构误差 / link prediction 指标

3. 使用：
   

   • 早停 + 最佳验证性能选秩，或

   • BIC / AIC：参数量 vs 拟合程度的折中

这样，你用的是：

• 簇内非零元数量 + 簇内数据复杂度 来自动决定核张量的维度，而不是死记一个公式。

2.3 工程上简单可行的一套“默认设置”

如果你想先跑通一个版本，可以用这样的简单策略：

• 全局实体维度：(d_e = 100)（或 200）

• 对每个簇 c：
  

  • 若 (|R_c| \le 5)：(d_r^{(c)} = |R_c|)

  • 若 (5 < |R_c| \le 20)：(d_r^{(c)} = \lfloor \sqrt{|R_c|} \rfloor + 3)

  • 若 (|R_c| > 20)：(d_r^{(c)} = 10) 或固定小值，防止爆炸

• 核张量维度：
  

  • (\mathcal{G}^{{(c)} \in \mathbb{R}}{d_e \times d_e \times d_r^{(c)}})

• 然后基于验证集对 (d_e) 和 (d_r^{(c)}) 作粗调（不用对每个簇单独搜索太细，可以按簇大小分档）。

小结（对应你两个问题的直接回答）

1. 如何选择关系簇数量 K，用什么数据？
   

   • 主要用的“数据/特征”：

 * 每个关系的：三元组数、头/尾实体覆盖率、实体分布熵、共现模式、或预训练关系向量

• 确定 K 的方法：

 * 在合理范围内（例如与 (|R|) 的根号同阶）枚举 K
 * 对每个 K 做关系聚类，训练对应的（简化版）分解模型
 * 用聚类指标 + 验证集 link prediction 性能 + 可能的信息准则（BIC/AIC）选 K

2. 每个关系簇的核张量维度如何确定？
   

   • 把核张量维度理解为“多模秩” ((d_h^{{(c)}, d_t}{(c)}, d_r^{(c)}))：

 * 实体维度：

   * 一般全局共享 (d_e) 比较常见，先用经验值（如 100/200），再用验证集调参；
   * 也可按簇大小/复杂度调整，用 (\log |\mathcal{E}^{(c)}|) 或 (\sqrt{#\text{triples in }c}) 给初值。
 * 关系维度：

   * 与 (|R_c|) 挂钩：例如 (d_r^{(c)} \le |R_c|)，用 (\log |R_c|) 或 (\sqrt{|R_c|}) 级别；
   * 最终用簇内验证集性能选定。

• 更严格可用：对不同候选秩训练子模型，按 BIC/AIC 或验证集指标选择。

如果你愿意的话，你可以把你现在的数据规模（实体数、关系数、平均三元组数）大致告诉我，我可以给你一组更具体的“参考超参配表”（比如具体的 K 范围和核维度候选组合）。